ЧАСТЬ II. Элементы аналитической геометрии

Уравнением линии на плоскости х0у называется уравнениеF (x,y) =0,которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Если даны уравнения двух линий F1(x,y) =0 и F2(x,y) =0, то решение системы

дает все точки их пересечения.

В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному свойству.Выведем уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку М0 (х0, у0) с заданным нормальным вектором .Нормальным вектором прямой называется вектор, перпендикулярный к этой прямой.

Возьмем на прямойlпроизвольную точку М (x,y). Введем в рассмотрение вектор . Тогда для любой точки перпендикулярен вектору . Из ортогональности векторов  и  следует, что.Записав скалярное произведение в координатной форме, получим

А(х–х0) + В(у–у0) = 0.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным  вектором.Если в данном уравнении раскрыть скобки, то получится общее уравнение прямой:

Ах + Ву+ С =0,

гдеС = –Ах0–Ву0.

ЕслиВ≠0, то Ах + Ву + С =0  или у = kx+b,

где k= –; b=.

Уравнение у = kx+bописываетпрямуюс угловым коэффициентом. Параметр k равен тангенсу угла α наклона прямой к оси 0х (k = tg α) и называется угловым коэффициентом.Параметр b – ордината точки пересечения прямой с осью 0у.

ЕслиВ≠0, то из уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным  вектором,получается уравнение вида:

у–у0=k(х–х0),

называемоеуравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Положение прямой однозначно определяется двумя точками М1 и М2, лежащими на этой прямой.

Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l. Введем в рассмотрение векторы и.

Тогда для каждой точки  векторы и коллинеарные и, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

.

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

,

где (х0,у0) – координаты точки, принадлежащей прямой,– направляющий вектор.Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или ей параллельный.

Уравнение прямой «в отрезках» определено формулой

,

где а и b – величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях.

Таким образом, в декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой l1, заданной уравнением у = k1х + b1 , допрямойl2 заданной уравнением у = k2х + b2 , находится поформуле

.

Пример №1.Для прямой М1М2 написать общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение «в отрезках», если М1(-2,1) и М2 (6,-2). Найти угловой коэффициент прямой, координаты нормального вектора и величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Решение.

Напишем уравнение прямой, проходящей через точки М1 (-2,1) и М2 (6,-2):

8(у–1) = –3(х+2)    3х+8у – 2=0

Последнее уравнение является общим уравнением прямой, отсюда нормальный вектор: .

Запишем полученное уравнение в виде у = kх + b, где . Тогда угловой коэффициент прямой .

Найдем уравнение прямой «в отрезках»:

3х+8у – 2=0  3х+8у=2 .

Отрезок, отсекаемый прямой на оси 0х, равен 2/3.Отрезок, отсекаемый прямой на оси 0у, равен 1/4.

Ответ:, отрезок, отсекаемый прямой на оси 0х, равен , отрезок, отсекаемый прямой на оси 0у, равен .

Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k1 = k2.Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является соотношение .

Если прямые заданы общими уравнениямиА1х+ В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0, то условие параллельности прямых имеет вид:

.

Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, выражается в виде:А1·А2 + В1·В2 = 0.

Пример №2.Даны прямая 2х+3у+4=0 и точка М0(2,1). Найти:

1. уравнение прямой, проходящей через точку М0параллельно данной;
2. уравнение прямой, проходящей через точку М0перпендикулярно к данной;
3. расстояние от точки М0до данной прямой.

Решение.

а) 1 способ

Запишем 2х+3у+4=0 в виде уравнения с угловым коэффициентом:.Тогда k= .Условие параллельности имеет вид: k1 = k.Следовательно, угловой коэффициент прямой l1равен k1= .Запишем уравнение прямой l1 , как уравнение прямой, проходящей через точку М0с заданным угловым коэффициентом:

у – 1=  (х – 2) 3у–3 = –2х+4  2х+3у –7=0.

2 способ

Так как прямые lи l1 параллельны, то у них один и тот же нормальный вектор: .Запишем уравнение прямой l1 , как уравнение прямой, проходящей через точку М0с заданным нормальным вектором:

2(х–2)+ 3(у–1) =0  2х+3у – 7=0.

б) 1 способ

Условие перпендикулярности прямых lи l2:k2 = . Следовательно, угловой коэффициент прямой l2 равен k2= .Запишем уравнение прямой l2 :у – 1= (х–2) 2у – 2=3х–6 3х–2у – 4 =0.

2 способ

Нормальный вектор прямой l является направляющим для прямой l2 . Тогдауравнение прямой l2:3(х–2) = 2(у–1) 3х – 2у – 4=0

в) Найдем координаты точки N(x,y), которая является точкой пересечения прямых lи l2 :х= , у= .

Вектор, т.е. .Искомое расстояние 

Ответ: а)2х + 3у – 7 = 0; б)3х – 2у – 4=0;в).

Уравнением поверхности в пространстве называется уравнение вида F (x,y,z) =0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) с заданным нормальным вектором .

Нормальным вектором плоскости называется вектор, перпендикулярный к ней.

Пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости α. Введем в рассмотрение вектор . Для любой точки   векторы  и  ортогональны, следовательно, (,) = 0.

Записав скалярное произведение в координатной форме, получим следующую формулу:

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0.

Если в данном уравнении раскрыть скобки, то получится общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где D = – Ах0 – Ву0 – Cz0.

Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид:

,

где а, b, с – величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Таким образом, всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными есть уравнение плоскости и, обратно, каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Пример №3.Написать уравнение плоскостей, проходящих через точку М0(1, -3, 2) и

1. параллельно плоскости 3х+2у – z–1=0;
2. перпендикулярно прямой.

Решение.

а) Выпишем координаты вектора нормали данной плоскости.Так как искомая плоскость параллельна данной, то этот вектор является нормалью и к ней.

Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору: А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 

3(х – 1) +2(у+3) – (z – 2) =0  3x+2y – z+5=0.

б) Из уравнения прямой выпишем направляющий вектор данной прямой.

Этот вектор будет вектором нормали искомой плоскости.Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору:

3∙(х – 1) – (у+3) + 0∙(z – 2) =0  3x – y– 6=0.

Ответ: уравнение плоскости,параллельнойданной:3x+2y – z+5=0;уравнение плоскости,перпендикулярнойданной:3x – y– 6=0.

Пример №4. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,0,1), М2(1,1,0),М3(–1, 0, 0).

Решение.

1 способ

Будем искать уравнение плоскости по данной точке М1, которая нам известна, и нормальному вектору, координаты которого нам пока не известны.

Составим векторы  и.

Векторное произведение этих векторов – это вектор, перпендикулярный к каждому из векторов  и.Следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости и его можно взять в качестве нормального вектора этой плоскости.

Значит, . Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору:– (х – 1) + 2∙(у – 0) +2∙(z – 1)=0 

-х+2у+2z – 1=0 или х – 2у – 2z+1=0.

2 способ

Возьмем на плоскости произвольную точку М(х,у,z). Точка М(х, у, z) только тогда лежит на плоскости, когда векторы , ,компланарны, т.е. когда··=0.

Ответ: общее уравнение плоскости имеет вид  х – 2у – 2z + 1 = 0.

Необходимым и достаточным условием параллельности двух плоскостей А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 является пропорциональность координат их нормальных векторов, т.е.

.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов, т.е. А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

где  и  нормальные векторы плоскостей.

Прямая в пространстве рассматривается как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определяется заданием двух уравнений плоскостей:

Данная система уравнений, называемых общими уравнениями прямой в пространстве, определяет прямую, когда плоскости не параллельны и не совпадают, т.е. когда векторы  и  не коллинеарны. Таким образом, эта система определяет прямую в том и только том случае, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.

Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно вектору .Вектор  называется направляющим вектором прямой.

Пусть М(x, y, z) – произвольная точка прямой l.Введем вектор . Тогда для всякой точки векторы  и коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

.

Данное уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений канонического уравнения прямой в пространстве приравнять к параметру  t:

Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1, y1, z1) и М2 (x2, y2, z2), записывается в виде:

.

Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых  и  является пропорциональность координат их направляющих векторов, т.е.

.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов, т.е. m1·m2 + n1·n2 + p1·p2 = 0.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами:сosφ=.

Угол между прямой  и плоскостьюАх + Ву + Сz + D = 0 определяется по формуле

sinψ = ,

где и .

Прямая параллельна плоскости, если нормальный вектор плоскости  перпендикулярен направляющему вектору прямой , поэтому условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

А·т + В·п + С·р = 0.

Прямая перпендикулярна плоскости, если векторы  и коллинеарны, т.е.

.

Пример№5.Доказать, что:

а) прямая  и плоскость х + у – z + 3 = 0параллельны;

б) прямая  и плоскость 8х - 2у – 4z + 1 = 0перпендикулярны.

Решение.

а) Имеем: нормальный вектор плоскости; направляющий вектор прямой.

Условием параллельности прямой и плоскости является равенство нулю скалярного произведения векторов  и.

 = 1· 2 +1·(–1) +(–1) ·1 = 2 – 1–1 =0.

Следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.

б) Имеем и .

Условием перпендикулярности прямой и плоскости является коллинеарность векторов  и. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Рассмотрим отношения соответствующих координат векторов  и.

;;.

Следовательно, данные прямая и плоскость перпендикулярны.