2.5 Приложения определенного интеграла в экономике
Зная функцию производительности труда, можно с помощью определенного интеграла выразить объем произведенной продукции. Рассмотри пример.
найти дневную выработку P за рабочий день с 8 часов до 14 часов, если производительность труда задана эмпирической формулой
(Эта формула отражает процесс работы, при котором производительность растет на протяжении первых двух часов, а затем падает.)
Решение. Рассматривая функцию производительности, выразим дневную выработку интегралом:
Итак, за указанный промежуток времени произведено 54 единицы продукции.
Определить объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от до , если производительность труда характеризуется функцией , , .
Решение. Объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от до , будет выражаться формулой .
В нашем случае
Выше мы рассматривали, в частности, предельные издержки, задаваемые производной функции издержек S(x): MS=S’(x). Эта производная характеризует затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Рассмотрим задачу нахождения функции издержек по данной функции предельных издержек.
Задана функция предельных издержек MS=3-40x+125, x [0,30]. Найти функцию издержек S(x) и вычислить издержки при производстве 20 единиц продукции, если известно, что издержки для производства первой единицы продукции составляют 100 денежных единиц.
Решение. Функцию издержек находим интегрированием: . При этом константа С определяется условием S(1)=100, так что С=100, так что интеграл обращается в нуль.
Получаем функцию издержек:
S(x)=
Доставляя x=20, находим
S(20)=2600.
Еще одним примером положения определенного интеграла является дисконтирование. Дисконтированием называется определение начальной денежной суммы S по ее конечной величине через время t при определении экономической эффективности капитальных вложений.
Как было установлено ранее, при непрерывном начислении процентов конечная сумма рассчитывается по формуле
.
Полная дисконтированная сумма за время T выражается формулой