3.1 Неопределенный и определенные интегралы

▼ Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

▼ Определение 2. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C

и обозначается 

▼ Свойства неопределенного интеграла.

1.   
2.   
3.   
4.    где f, g, h – некоторые функции от х;

▼ Интегралы элементарных функций.

▼ К основным методам интегрирования относятся:

1) Непосредственное интегрирование: поиск возможного значения первообразной функции с помощью таблицы интегралов и с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

2) Метод замены переменных: .

3) Интегрирование по частям: .

▼ Определение 3. Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма  стремится к пределу S, то S называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b] (обозначается ).

▼ Свойства определенного интеграла.

1.   
2.   
3.   
4.   Если f(x)  (x) на отрезке [a, b]  a < b, то
5.   Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то 
6.   Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что 

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство 

8) 

▼ Если функция F(x) – какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то 

При нахождении первообразной определенного интеграла пользуются таблицей интегралов элементарных функций и основными методами вычисления неопределенного интеграла.

▼ Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.

▼ Площадь S , ограниченная непрерывными линиями  и  на отрезке гдевычисляется по формуле: 

▼ Несобственные интегралы

Определение 4. Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале  называется предел функции Ф(в) при

▼ Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном случае- расходящимся. Аналогично определяются интегралы;

 последний интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны.

Написать комментарий