- Главная
- Линейная алгебра
- Линейная алгебра в примерах и задачах
- ЧАСТЬ II. Элементы аналитической геометрии
ЧАСТЬ II. Элементы аналитической геометрии
1. Основные теоретические вопросы
2. Типовые задачи
2.1. Уравнение прямой на плоскости
2.2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
2.3. Уравнение плоскости в пространстве
2.4. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей в пространстве
2.5. Уравнение прямой в пространстве
2.6. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
3. Задачи для самостоятельного решения
Уравнением линии на плоскости х0у называется уравнениеF (x,y) =0,которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если даны уравнения двух линий F1(x,y) =0 и F2(x,y) =0, то решение системы
дает все точки их пересечения.
В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному свойству.Выведем уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку М0 (х0, у0) с заданным нормальным вектором .Нормальным вектором прямой называется вектор, перпендикулярный к этой прямой.
Возьмем на прямойlпроизвольную точку М (x,y). Введем в рассмотрение вектор . Тогда для любой точки перпендикулярен вектору . Из ортогональности векторов и следует, что.Записав скалярное произведение в координатной форме, получим
А(х–х0) + В(у–у0) = 0.
Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.Если в данном уравнении раскрыть скобки, то получится общее уравнение прямой:
Ах + Ву+ С =0,
гдеС = –Ах0–Ву0.
ЕслиВ≠0, то Ах + Ву + С =0 или у = kx+b,
где k= –; b=.
Уравнение у = kx+bописываетпрямуюс угловым коэффициентом. Параметр k равен тангенсу угла α наклона прямой к оси 0х (k = tg α) и называется угловым коэффициентом.Параметр b – ордината точки пересечения прямой с осью 0у.
ЕслиВ≠0, то из уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором,получается уравнение вида:
у–у0=k(х–х0),
называемоеуравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Положение прямой однозначно определяется двумя точками М1 и М2, лежащими на этой прямой.
|
Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l. Введем в рассмотрение векторы и.
Тогда для каждой точки векторы и коллинеарные и, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.
.
Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Каноническое уравнение прямой имеет вид:
,
где (х0,у0) – координаты точки, принадлежащей прямой,– направляющий вектор.Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или ей параллельный.
Уравнение прямой «в отрезках» определено формулой
,
где а и b – величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях.
Таким образом, в декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой l1, заданной уравнением у = k1х + b1 , допрямойl2 заданной уравнением у = k2х + b2 , находится поформуле
.
Пример №1.Для прямой М1М2 написать общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение «в отрезках», если М1(-2,1) и М2 (6,-2). Найти угловой коэффициент прямой, координаты нормального вектора и величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Решение.
Напишем уравнение прямой, проходящей через точки М1 (-2,1) и М2 (6,-2):
8(у–1) = –3(х+2) 3х+8у – 2=0
Последнее уравнение является общим уравнением прямой, отсюда нормальный вектор: .
Запишем полученное уравнение в виде у = kх + b, где . Тогда угловой коэффициент прямой .
Найдем уравнение прямой «в отрезках»:
3х+8у – 2=0 3х+8у=2 .
Отрезок, отсекаемый прямой на оси 0х, равен 2/3.Отрезок, отсекаемый прямой на оси 0у, равен 1/4.
|
Ответ:, отрезок, отсекаемый прямой на оси 0х, равен , отрезок, отсекаемый прямой на оси 0у, равен .
Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k1 = k2.Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является соотношение .
Если прямые заданы общими уравнениямиА1х+ В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0, то условие параллельности прямых имеет вид:
.
Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, выражается в виде:А1·А2 + В1·В2 = 0.
Пример №2.Даны прямая 2х+3у+4=0 и точка М0(2,1). Найти:
- уравнение прямой, проходящей через точку М0параллельно данной;
- уравнение прямой, проходящей через точку М0перпендикулярно к данной;
- расстояние от точки М0до данной прямой.
Решение.
а) 1 способ
Запишем 2х+3у+4=0 в виде уравнения с угловым коэффициентом:.Тогда k= .Условие параллельности имеет вид: k1 = k.Следовательно, угловой коэффициент прямой l1равен k1= .Запишем уравнение прямой l1 , как уравнение прямой, проходящей через точку М0с заданным угловым коэффициентом:
у – 1= (х – 2) 3у–3 = –2х+4 2х+3у –7=0.
2 способ
Так как прямые lи l1 параллельны, то у них один и тот же нормальный вектор: .Запишем уравнение прямой l1 , как уравнение прямой, проходящей через точку М0с заданным нормальным вектором:
2(х–2)+ 3(у–1) =0 2х+3у – 7=0.
б) 1 способ
Условие перпендикулярности прямых lи l2:k2 = . Следовательно, угловой коэффициент прямой l2 равен k2= .Запишем уравнение прямой l2 :у – 1= (х–2) 2у – 2=3х–6 3х–2у – 4 =0.
2 способ
Нормальный вектор прямой l является направляющим для прямой l2 . Тогдауравнение прямой l2:3(х–2) = 2(у–1) 3х – 2у – 4=0
в) Найдем координаты точки N(x,y), которая является точкой пересечения прямых lи l2 :х= , у= .
Вектор, т.е. .Искомое расстояние
Ответ: а)2х + 3у – 7 = 0; б)3х – 2у – 4=0;в).
Уравнением поверхности в пространстве называется уравнение вида F (x,y,z) =0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) с заданным нормальным вектором .
Нормальным вектором плоскости называется вектор, перпендикулярный к ней.
Пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости α. Введем в рассмотрение вектор . Для любой точки векторы и ортогональны, следовательно, (,) = 0.
Записав скалярное произведение в координатной форме, получим следующую формулу:
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0.
Если в данном уравнении раскрыть скобки, то получится общее уравнение плоскости:
Ах + Ву + Сz + D = 0,
где D = – Ах0 – Ву0 – Cz0.
Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид:
,
где а, b, с – величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Таким образом, всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными есть уравнение плоскости и, обратно, каждая плоскость определяется уравнением первой степени.
Пример №3.Написать уравнение плоскостей, проходящих через точку М0(1, -3, 2) и
- параллельно плоскости 3х+2у – z–1=0;
- перпендикулярно прямой.
Решение.
а) Выпишем координаты вектора нормали данной плоскости.Так как искомая плоскость параллельна данной, то этот вектор является нормалью и к ней.
Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору: А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0
3(х – 1) +2(у+3) – (z – 2) =0 3x+2y – z+5=0.
б) Из уравнения прямой выпишем направляющий вектор данной прямой.
Этот вектор будет вектором нормали искомой плоскости.Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору:
3∙(х – 1) – (у+3) + 0∙(z – 2) =0 3x – y– 6=0.
Ответ: уравнение плоскости,параллельнойданной:3x+2y – z+5=0;уравнение плоскости,перпендикулярнойданной:3x – y– 6=0.
Пример №4. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,0,1), М2(1,1,0),М3(–1, 0, 0).
Решение.
1 способ
Будем искать уравнение плоскости по данной точке М1, которая нам известна, и нормальному вектору, координаты которого нам пока не известны.
Составим векторы и.
Векторное произведение этих векторов – это вектор, перпендикулярный к каждому из векторов и.Следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости и его можно взять в качестве нормального вектора этой плоскости.
Значит, . Запишем уравнение искомой плоскости по точке и нормальному вектору:– (х – 1) + 2∙(у – 0) +2∙(z – 1)=0
-х+2у+2z – 1=0 или х – 2у – 2z+1=0.
2 способ
Возьмем на плоскости произвольную точку М(х,у,z). Точка М(х, у, z) только тогда лежит на плоскости, когда векторы , ,компланарны, т.е. когда··=0.
Ответ: общее уравнение плоскости имеет вид х – 2у – 2z + 1 = 0.
Необходимым и достаточным условием параллельности двух плоскостей А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 является пропорциональность координат их нормальных векторов, т.е.
.
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов, т.е. А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами:
где и нормальные векторы плоскостей.
Прямая в пространстве рассматривается как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определяется заданием двух уравнений плоскостей:
Данная система уравнений, называемых общими уравнениями прямой в пространстве, определяет прямую, когда плоскости не параллельны и не совпадают, т.е. когда векторы и не коллинеарны. Таким образом, эта система определяет прямую в том и только том случае, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.
Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно вектору .Вектор называется направляющим вектором прямой.
|
Пусть М(x, y, z) – произвольная точка прямой l.Введем вектор . Тогда для всякой точки векторы и коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.
.
Данное уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений канонического уравнения прямой в пространстве приравнять к параметру t:
Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1, y1, z1) и М2 (x2, y2, z2), записывается в виде:
.
Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых и является пропорциональность координат их направляющих векторов, т.е.
.
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов, т.е. m1·m2 + n1·n2 + p1·p2 = 0.
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами:сosφ=.
Угол между прямой и плоскостьюАх + Ву + Сz + D = 0 определяется по формуле
sinψ = ,
где и .
Прямая параллельна плоскости, если нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой , поэтому условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
А·т + В·п + С·р = 0.
Прямая перпендикулярна плоскости, если векторы и коллинеарны, т.е.
.
Пример№5.Доказать, что:
а) прямая и плоскость х + у – z + 3 = 0параллельны;
б) прямая и плоскость 8х - 2у – 4z + 1 = 0перпендикулярны.
Решение.
а) Имеем: нормальный вектор плоскости; направляющий вектор прямой.
Условием параллельности прямой и плоскости является равенство нулю скалярного произведения векторов и.
= 1· 2 +1·(–1) +(–1) ·1 = 2 – 1–1 =0.
Следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.
б) Имеем и .
Условием перпендикулярности прямой и плоскости является коллинеарность векторов и. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
Рассмотрим отношения соответствующих координат векторов и.
;;.
Следовательно, данные прямая и плоскость перпендикулярны.
- Определить, какие из точек М1(3,1), М2(6,3), М3(2,3), М4(-3,-3), М5(3,-1) лежат на прямой 2х – 3у – 3 = 0.
- Определить ординату точки Р, лежащей на прямой 3х – 2у – 6 = 0, если абсцисса равна 4.
- Определить точки пересечения прямой 2х – 3у – 12 = 0 с координатными осями и построить график.
- Найти угловой коэффициент и отрезок, отсекаемый на оси 0у, прямой 2х – 8у + 3 = 0.
- Найти нормальный вектор прямой у = 10х –.
- Найти направляющий и нормальный векторы прямой.
- Найти точку пересечения прямыхх + у + 2 = 0 и х + 4у – 1 = 0.
- Даны вершины треугольникаА(2,-2), В(3,-5), С(5,7). Составить уравнение высоты ВD, вычислить ее длину.
- Составить уравнение всех сторон треугольника АВС, еслиА(3,2), В(5,-2), С(5,2). Найти их длины.
- Через точкиА(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точкуС(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить расстояние от точкиС до прямой АВ.
- В треугольнике АВС найти уравнение медианы, проведенной из вершиныА, если А(3,2), В(-2,5), С (6,-2).
- Составить уравнение прямой, если точка Р(2, 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
- Докажите, что прямые 3х – у + 1 = 0 и 2х + 6у – 1 = 0 перпендикулярны.
- Доказать, что две данные прямые параллельны: 3х + 5у – 4 = 0 и 6х + 10у + 7 = 0.
- Определить угол между двумя прямыми: 5х – у + 7 = 0 и 3х + 2у = 0.
- Проверить, что точка М(2,0,-4) лежит на плоскости 2x + y + z = 0.
- Найти координаты какой-нибудь точки, лежащей в плоскости 3x ‑ 7y + 5z – 2 = 0.
- Найти нормальный вектор плоскости x + 2y – 5z – 10 = 0.
- Точка М1(1,-2,2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2(3,0,-1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.
- Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуА(1,0,-1) параллельно плоскости 4x + 2y –5z – 4 = 0.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1(‑1,0,0), М2(1,0, 1), М3(1,1,0) (решить задачу двумя способами).
- Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,4,-5) параллельно векторам и .
- Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2,-1,3) и М2(3,1,2) параллельно вектору.
- Определить, при каких значениях m и l плоскости будут параллельны: 2x + l∙y + 3z – 5 = 0 и m∙x – 6y – 6z + 2 = 0.
- Определить, при каком значении m плоскости будут перпендикулярны: 3x – 5y + m∙z – 3 = 0 и x + 3y + 2z + 5 = 0.
- Найти координаты какой-нибудь точки, лежащей на прямой.
- Найти направляющий вектор прямой.
- Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-1,2,1) и
- имеющей направляющий вектор ;
- перпендикулярной плоскости 3х – у – 2z + 1 = 0;
- проходящей через точку М1(3,2,4).
- Найти точку пересечения прямой с плоскостью 2х + 3у + z – 1=0.
- Определить расстояние от точки Р(2,3,-1) до прямой.