- Главная
- Линейная алгебра
- Линейная алгебра в примерах и задачах
- ЧАСТЬ I. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
ЧАСТЬ I. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
2. Типовые задачи и примеры
2.1. Действия над матрицами
2.2. Определители квадратных матриц
2.3. Обратная матрица.
2.4. Способы вычисления ранга матрицы
2.5. Системы линейных уравнений
2.5.1. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
2.5.2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
2.5.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
2.5.4. Система однородных линейных уравнений
3. Задачи для самостоятельного решения
Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, аijсоставляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Произведением матрицы А на число называется матрица В=А, элементы которой bij=aij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера mn называется матрица С=А+В, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: сij =aij +bij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Разностью двух матрицА и В одинакового размера mn называется матрица С=А – В, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В:сij= aij– bij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матрицы А (размерности mk) и В (размерности kn) называется такая матрица С (размерности mn), каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: сij= ai1b1j+ ai2b2j+…+ aikbkj для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Целой положительной степенью Аm(m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А.
Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице Аt, путем замены строк матрицы на соответствующие столбцы, т.е. в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Матрица Аtназывается транспонированной относительно матрицы А.
Пример №1.Найти матрицуС=(3А+В)Вt – E2, если
Решение.
Вычислим матрицу 3A. Для этого каждый элемент матрицыА умножим на 3.
Матрицы 3А иВ имеют одинаковый размер (32), следовательно операция сложения для них определена. Сложим матрицы 3А иВ, вычисляя суммы соответствующих элементов.
Найдем матрицу Вt. Для этого строки и столбцы матрицыВ поменяем местами с сохранением порядка.
Вычислим (3А+В)Вt. Количество столбцов матрицы 3А+В (размерность 32) равно 2, количество строк матрицы Вt (размерность 23) равно 2, следовательно произведение данных матриц определено. В результате умножения получим матрицу размерности 33.
Вычислим матрицу E2, где матрицаЕ – единичная матрицатретьего порядка.
Заметим, что:
- при возведении матрицыЕ в любую целую положительную степень n получим саму матрицу Е;
- при умножении матрицыЕ на любую квадратную матрицу А получим матрицу А.
Найдем матрицу С. Поскольку размерность матриц (3А+В)Вt и E2одинаковая (33), то операция вычитания определена. В результате получим матрицу размерности 33.
Ответ:
Определителем матрицыА = (а11)первого порядка называется число, равное элементу а11.
Определителем матрицыАвторого порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали:
Определителем матрицыАтретьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле (правило треугольников или правило Саррюса):
Минором Мij элемента аij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицыА вычеркиванием строки и столбца матрицы, на пересечении который находится данный элемент:i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнениемАij элемента аijматрицыАn-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j:
Аij=(-1)i+j Мij
Пример №2.Вычислить определитель четвертого порядка:
Решение.
Вычислим определитель,используя теорему Лапласа путем разложения его по третьей строке.
Рациональнее привести определитель к такому виду, чтобы в данной строке было как можно больше нулей. Из свойств определителей известно, что определитель матрицы не меняется, если к какой-нибудь его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число. Воспользуемся этим свойством.
Сложим второй и третий столбцы матрицы, третий – умноженный на число 2. Тогда в третьей строке получим ноль на месте элемента а32. Далее найдем сумму четвертого столбца матрицыАи третьего столбца, умноженного на число 3. Тогда в третьей строке получим ноль на месте элементаа34.
Разложим определитель матрицыА по третьей строке:
Так как ненулевой элемент в полученной сумме только один, то
необходимо вычислить только алгебраическое дополнение А33.Воспользуемся формулой: А33=(-1)3+3М33,где М33 – определитель, полученный из матрицыА путем вычеркивания третьей строки и третьего столбца. |
Вычислим полученный определитель по правилу треугольников:
Вычислим искомый определитель матрицыА:
Ответ: .
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрицеА, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
Обратная матрицы А-1 существует тогда и только тогда, когда матрицаА невырожденная (то есть определитель исходной матрицы А не равен нулю).
В том случае, когда существует обратная матрица А-1, ее можно вычислить по следующей формуле: , где – присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы Аt.
Пример №3. Вычислить матрицу А-1, если .
Решение.
Для вычисления определителя матрицыАразложим его по третьей строке, предварительно прибавив ко второму столбцу матрицы ее первый столбец (тогда на месте элемента а32получим ноль).
Вычислим А31:
Вычислим определитель матрицыА
Так как определитель матрицыАотличен от нуля, то матрица А невырожденная, а следовательно, матрицаА-1 существует.
Найдем матрицу Аt. Для этого транспонируем матрицу А.
Найдем все алгебраические дополнения матрицы Аt.
Составим присоединенную матрицу .
Вычислим матрицу А-1:
.
Проверим выполнения равенства .
Ответ: .
Пример №4а.Найти обратную матрицу методом Гаусса для.
Решение.
1.Составим расширенную матрицу .
2. Элементы первой строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .
3. Итак, обратная матрица имеет вид .
Пример №4б. Вычислить матрицу А-1, если .
Решение.
Выясним значение определителя. Так как определитель матрицыАотличен от нуля, то матрица А невырожденная, матрицаА-1 существует.
Найдем обратную матрицу с помощью элементарных преобразований, приписав единичную матрицук исходной.
Обратная матрица получена.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначается rang А или r(А)).Рангом матрицы А называется количество ненулевых строк в матрице ступенчатого вида.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Пример №5.Вычислить ранг матрицыА, если
Решение.
Для вычисления ранга матрицы необходимо привести ее к ступенчатому виду, то есть получить ниже главной диагонали нули.
Вычислим ранг матрицыА с помощью элементарных преобразований.Так как элемент а11 главной диагонали матрицыА равен нулю, то поменяем 1 и 2 строки матрицы местами:
Теперь получим ниже первого элемента главной диагонали а11 нули. Чтобы получить ноль на месте элемента а31, прибавим к третьей строке матрицыА ее первую строку, умноженную на число (-2). Чтобы получить ноль на месте элемента а41, прибавим к четвертой строке матрицыА ее первую строку.
Теперь получим ниже второго элемента главной диагонали а22нули. Чтобы получить ноль на месте элемента а32, прибавим к третьей строке матрицыА ее вторую строку. Чтобы получить ноль на месте элемента а42, прибавим к четвертой строке матрицыА ее вторую строку умноженную на число (-2).
В полученной матрице можем отбросить нулевые строки:
В последней матрице, которая имеет ступенчатый вид, можно выделить минор второго порядка, отличный от нуля: . Следовательно, ранг последней матрицы равен двум. Так как мы для получения ступенчатой матрицы пользовалисьэлементарнымипреобразованиями, которые не меняют ранг матрицы, то и ранг исходной матрицыА равен двум.
Заметим, чтов общем случае для нахождения ранга ступенчатой матрицы достаточно посчитать количество ее ненулевых строк. Оно будет совпадать с рангом матрицы.
Ответ:r(А)=2
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:
,
где – произвольные числа. Числа называются коэффициентами при переменных; –свободными членами.
Решением системы называется такая совокупность n чисел , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Для любой системы можно выписать матрицу А – матрицу коэффициентов при переменных (или матрицу системы); матрицу Х – матрицу-столбец переменных; матрицу В – матрицу-столбец свободных членов.
Используя введенные обозначения нашу систему можно записать в матричной форме: .
Пусть дана система линейных уравнений, записанная в матричной форме . Умножим обе части системы слева на матрицу А-1 (при условии, что А-1 существует). Получим: . По определению обратной матрицы , гдеЕ – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Тогда получим . По свойству единичной матрицы . Тогда в результате будем иметь . А это и есть решение нашей системы.
Пример №6.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
Решение.
Запишем систему в матричной форме. Для этого выпишем матрицу системы, матрицу-столбец переменных и матрицу-столбец свободных членов.
Тогда система имеет вид
Найдем матрицу А-1:
Так как определитель матрицыА отличен от нуля, то матрица А невырожденная, а следовательно, существует А-1.
Найдем алгебраические дополнения матрицы Аt:
Выпишем присоединенную матрицу:
Тогда
Найдем решение системы (то есть матрицу столбец переменныхХ: )
Ответ:
Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системыА, а – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
.
Пример №7.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
Решение.
Выпишем матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:
Найдем =. Вычислим путем разложения по первому столбцу. Предварительно получим ноль на месте элемента а31 матрицы А. Для этого прибавим к третьей строке матрицы А ее первую строку, умноженную на число 2.
Найдем . Для того, чтобы найти заменим в матрице системы А первый столбец на матрицу-столбец свободных членов В, и вычислим определитель полученной матрицы. Аналогично вычислим .
По формулам Крамера найдем решение системы:
Ответ: .
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных с помощью элементарных преобразований системы. В итоге система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно находятся все переменные (начиная с последних по номеру). Данный метод является универсальным, так как не зависит ни от количества уравнений и переменных системы, ни от того, является ли матрица системы вырожденной.
Преобразования Гаусса удобно производить с расширенной матрицей системы, которая представляет собой матрицу системыА, дополненную матрицей столбцом свободных членов В:
Пример №8.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Выпишем расширенную матрицу системы:
Приведем матрицуА к ступенчатому виду. Удобнее это сделать, когда элемент главной диагонали а11=1, поэтому сначала поменяем первую и вторую строки матрицы местами:
Были выполнены следующие преобразования
(1) Чтобы получить ноль на месте элемента а21, прибавили ко второй строке матрицыА ее первую строку, умноженную на число (-2). Чтобы получить ноль на месте элемента а31, прибавили к третьей строке матрицыА ее первую строку, умноженную на число (-1).
(2) Чтобы получить ноль на месте элемента а32, прибавили к третьей строке матрицы ее вторую строку, умноженную на число .
Выпишем систему уравнений (равносильную исходной), соответствующую последней матрице:
Из третьего уравнения найдем . Подставим найденное значение переменной во второе уравнение и найдем переменную . . Найденные значения переменных подставим в первое уравнение и найдем переменную . .
Ответ: .
Пример №9.Решить систему линейных уравнений:
Решение.
Так как количество уравнений системы равно 3, а количество переменных – 4, то матрица системы будет иметь размер 34, то есть не будет являться квадратной. Следовательно, нельзя вычислить определитель матрицы системы, а значит, систему нельзя решить ни методом обратной матрицы, ни по формулам Крамера. Будем решать систему методом Гаусса.
Выпишем расширенную матрицу системы:
Приведем матрицуА к ступенчатому виду:
Выпишем систему уравнений (равносильную исходной) соответствующую последней матрице:
Данная система имеет бесконечное множество решений. Возьмем за основные переменные . Выразим эти переменные через неосновную переменную .
Из третьего уравнения выразим переменную.
Подставим найденное значение переменной во второе уравнение и выразим переменную .
Найденные значения переменных подставим в первое уравнение и выразим переменную .
Зададим неосновной переменной произвольное значение и найдем бесконечное множество решений системы.
Ответ: , где.
Системой однородных линейных уравнений называется система вида
Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.
Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.
Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.
Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ = 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
Пример № 10.
, а значит x=y=z=0.
Найдите матрицу С, если известно:
1. С=АВt- 3D;2.C=AtD+2Bt;
3.C=A(DB)t – 2D;4.C=DABt – D
5. Вычислить определитель матриц А, В, АВ, ВА, если.
Вычислитьлюбым способом определитель матрицы А:
6. 7.
8. 9.
Решить уравнение:
10. 11.
Определите, существует ли матрица А-1 и вычислите ее
12.13.
14.15.
Вычислить ранг матрицы А
16.17.
18.19.
Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы
20.21.
22.23.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
24.25.
26.27.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
28.29.
30.31.
Решить систему линейных уравнений:
32.33.
34.35.