Образцы решения тестовых заданий

Область определения функции  имеет вид …

Варианты ответа:

а)

б) 

в) 

г) 

Решение:

Данная функция определена, если подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.

Тогда 

Следовательно, получаем, что .

Область определения функции  имеет вид …

Варианты ответа:

a) 

б) 

в) 

г) 

Решение:

Данная функция определена, если, во-первых,  определен , а во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю, то есть . Тогда

Окончательно получаем: .

Область определения функции f(х)= имеет вид  х. Тогда значение k равно…

Варианты ответа:

а) 5;

б) 6;

в) 2;

г) 8.

Решение:

Данная функция определена, если во-первых, определена функция у= а во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю, то есть . Тогда . То есть х, следовательно , k=5.

Предел   равен …

Варианты ответа:

a) б) 1в) г) 

Решение:

Данный предел можно вычислить с использованием второго замечательного предела и его следствий вида  .  Тогда

Предел  равен …

Варианты ответа:

а)  б) 3в) 0 г) 

Решение:

Разделим почленно числитель и знаменатель на , где n – степень многочлена в знаменателе, то есть разделим на 

Предел  равен …

Варианты ответа:

а)  4,5б) 3в) 0 г) 

Решение:

Данный предел можно вычислить с использованием первого замечательного предела и его следствий вида , а именно:

Количество точек разрыва функции  равно …

Варианты ответа:

a)  3б) 4в) 2г) 

Решение:

Точку  называют точкой разрыва функции , если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данной функции могут являться точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть ,  . Однако область определения функции  определяется как 0,  то есть имеет вид . Тогда , имеет три точки разрыва:   удовлетворяющие условию .

Для функции  точка  является точкой …

Варианты ответа:

а) разрыва второго рода

б) разрыва первого рода

в) непрерывности

г) устранимого разрыва

Решение:

Вычислим односторонние пределы функции  в точке :  

Так как хотя бы один из односторонних пределов в точке  равен бесконечности, то точка  является точкой разрыва второго рода.

Точка разрыва функции        равна …

Варианты ответа:

а)  2б) 1в) – 2 г) 

Решение:

Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов (- ),  (1;2), (2; +) и меняет свое аналитическое выражение в точках x = 1 и x = 2 поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывностьДля точки x = 1  вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: 

 и   

Так как  то точка x = 1 является точкой непрерывности данной функции.Для точки x = 2 вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: 

 и  Так как   то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Вертикальная асимптота графика функции   задается уравнением вида …

Варианты ответа:

а) б) в) г) .

Решение:

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции   , если эта функция определена в некоторой окрестности точки     и , или . Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых  или ,  Однако точка  не принадлежит области определения функции , имеющей вид 

Вычислим односторонние пределы функции  в точке   

и 

Следовательно, прямая x будет вертикальной асимптотой.

Вертикальная асимптота графика функции f(х)=задается уравнением вида…

Варианты ответа:

а)1.х=1;б) 2.х=-4; в) 3.х=4; г) 4.х=0.

Решение:

Прямая х= является вертикальной асимптотой графика функции у=(х), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х= и  Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода . Определим точки разрыва данной функции , это точки в которых  или . Однако точка  не принадлежит области определения функции у=, имеющей вид х[0;+∞) ==0 и =. Следовательно , прямая х=1 будет вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота графика функции f(х)= задается уравнением вида…

1.у=-4х+17;

2.у=-4х-17;

3.у=4х+17;

4.у=4х-17.

Решение:

Прямая у=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у=f(х) при х х), если существуют конечные пределы : k=k=.Вычислим  эти пределы:

k=

b=

Следовательно, прямая у= является  наклонной асимптотой графика данной функции как при  х, так и при х.

Производная функции равна …

Варианты ответа:

а) б) в) г) .

Решение:

3·.

Производная функции у= равна…

а) ;

б) ;

в);

г) 6х

Решение:

Частная производная    функции имеет вид …

Варианты ответа:

a) б)в) г) 

Решение:

При вычислении частной производной  по переменной y переменную x рассматриваем как постоянную величину.Тогда .

Частная производная второго порядка  функции  z=1n(2х+3у) имеет вид…

Варианты ответа:

а) - ; б) 2. - ; в) 3. - ; в) 4. - ;

Решение:

При вычислении частной производной функции z=f(х,у) по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину , тогда = - .

Функция  задана в параметрическом виде   Тогда производная первого порядка функции  по переменной  имеет вид …

Варианты ответа:

а) б) в) г) 

Решение:.

Частная производная второго порядка   функции  имеет вид …

Варианты ответа:

a) – 24 yб) в) г) 2y

Решение:

При вычислении частной производной функции  по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

 и

Множество первообразных функции  имеет вид …
Варианты ответа:

а) б)    в)        г) 

Решение:

Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

.

Промежуток возрастания функции  имеет вид …

Варианты ответа:

а)        б)         в)       г) 

Решение:

Применим достаточное условие возрастания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке               , то функция  в этом промежутке возрастает. Поэтому вычислим производную первого порядка  и решим неравенство . Предварительно найдем корни уравнения , а именно . Тогда . Следовательно,                      при .

Наименьшее значение функции f(х)= на отрезке  равно…

; б) 2.в) 3.;г)4.

Решение:

Вычислим производную первого порядка = и решим уравнение =0, а именно . Тогда  Тогда наименьшее  значение данной функции равно 

Наибольшее значение функции f(х)= на отрезке [-4;-1] равно…

а) -1;б) -27;в)  -64;г) 0.

Решение:

Вычислим производную первого порядка =и решим уравнение . Тогда ,. Так как [-4;-1], а [-4;-1], то вычислим f(-4)=-64 f(-3)=-27. Тогда  наибольшее значение данной функции равно -1.

Полный дифференциал функции  имеет вид …

Варианты ответа:

a) б) в) 

г) 

Решение:

Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть  

Тогда 

Производная   по направлению  функции двух переменных имеет вид …

Варианты ответа:

a) б) в) г) 

Решение:

Производная  по направлению  функции двух переменных определяется как  где  и  – направляющие косинусы вектора . Вычислим направляющие косинусы:.  Тогда 

Неявная функция у=у(х)  определяется как решение уравнения . Тогда производная первого порядка 

а)0;б) в) 1;г) .

Решение:

Продифференцируем по х обе части уравнения . Тогда 2х+3у+3х-5 + 9=0. Решим последнее уравнение относительно получаем  . Подставив значение х=1 в уравнение , получим  то есть у=1, Тогда 0.

Частная производная  функции  имеет вид …

Варианты ответа:

а) б) в) г) .

Решение:

При вычислении частной производной  по переменной х, переменную у рассматриваем как постоянную величину. Тогда  =.

Модуль градиента функции нескольких переменных  в точке   равен …
Варианты ответа:

a)  б) в) 52г) 20

Решение:

Градиент функции нескольких переменных находится по формуле: 

 Тогда   и  .

 Следовательно, .

Вертикальная асимптота графика функции  задается уравнением вида …

Варианты ответа:

а) б) в) г) .

Решение:

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции                , если эта функция определена в некоторой окрестности точки  и , или . Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю. То есть , или . Вычислим односторонние пределы функции  в точке : .

Аналогично и  , то есть прямая  не является вертикальной асимптотой. Вычислим односторонние пределы функции     в точке :

,

Следовательно, прямая  будет вертикальной асимптотой.

Неопределенный интеграл  можно представить как …

Варианты ответа:

a) б) в) г) 

Решение:

Воспользуемся методом интегрирования по частям Тогда 

Множество первообразных функции    имеет вид …

Варианты ответа:

a) б) в) г) 

Решение:

Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции.Тогда Произведем замену 

Варианты ответа:

a)б) в) 

г) 

Решение:

Пусть . Тогда   то есть функция  является четной. А определенный интеграл от четной функции  по симметричному интервалу 
(-a;a) можно представить как

Для определенного интеграла  справедливо равенство …

Варианты ответа:

а) б) в) 

г) 

Решение:

Пусть. Тогда , то есть функция  является нечетной. А определенный интеграл от нечетной функции   по симметричному интервалу  равен нулю.

Предел  равен …

Варианты ответа:

a)  б) в) г) 0.

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как

.

= .

Определенный интеграл   равен …

Варианты ответа:

a)  б) в)  г)  

Решение:

Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных:  и перейдем к новым пределам интегрирования: 

Тогда

Площадь фигуры, изображенной на рисунке,

равна …

Варианты ответа:

a) б) в) г) 

Решение:

Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле  где a= -2   b=0,  а  Тогда

Площадь фигуры, изображенной на рисунке,

равна …

Варианты ответа:

a) б) в) г) 

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где  Тогда

Бесконечно малой числовой последовательностью, из предложенных

является …

Решение:

Последовательность называется бесконечно малой, если предел ее общего члена при  равен 0.

Для последовательности  имеем

Для остальных последовательностей предел общего члена не равен нулю.

Даны числовые ряды:

А) B) 

Тогда…

Варианты ответа:

a) ряд А) сходится, ряд В) расходится

b) ряд А) расходится, ряд В) расходится

c) ряд А) сходится, ряд В) сходится

d) ряд А) расходится, ряд В) сходится

Решение:

Для исследования сходимости ряда  применим радикальный признак сходимости Коши.

Тогда , то есть ряд сходится.

Для исследования сходимости ряда  применим теорему сравнения, для чего воспользуемся расходящимся гармоническим рядом .   

Тогда , то есть оба ряда расходятся или сходятся одновременно. В нашем случае ряд  будет расходится.

Радиус сходимости степенного ряда  равен 5. Тогда интервал сходимости этого ряда имеет вид …

Варианты ответа:

a)  (-8,2)b) (-2,8)c) (-5,5)d) [-8,2]

Решение:

Если радиус сходимости степенного ряда  равен R, то его интервал сходимости примет вид . Тогда интервал сходимости данного ряда определяется как (-3 – 5, - 3 + 5), или .

Если , то первые три (отличные от нуля) члена разложения этой функции в ряд Маклорена  имеют вид …

a) b) 

c)  d) 

Решение:

Так как ряд Маклорена для функции  имеет вид
, при , то

Область значения параметра , при которых заведомо сходится числовой ряд , где , имеет вид …

Решение:

По признаку Коши, ряд сходится при 

Если радиус сходимости степенного ряда равен 5, то интервал сходимости имеет вид …

Решение:

Интервалом сходимости степенного ряда является интервал , где R- радиус сходимости данного ряда.

Если радиус сходимости степенного  ряда равен 5, то интервал сходимости имеет.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле …

Решение:

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле .

Вы предлагаете приобрести новый автомобиль, который станет приносить ежегодный чистый доход 2000 у.е. в течении 7 лет, а затем будет выброшен на свалку. Какую максимальную сумму целесообразно уплатить за автомобиль при банковской ставке р=12%?

Как изменится Ваше решение, если в конце вы могли бы его продать (сдать в утиль) за 1000 у.е.

Решение:

Полагая, что поступления от использования автомобиля происходят в конце каждого года, дисконтируем платежи и найдем современную стоимость рассматриваемого потока платежей. По формуле

 имеет:

.

Отсюда мы делаем вывод, что больше, чем за 9128 у.е. автомобиль покупать не стоит.

Замечание: Если бы после 7 лет эксплуатации автомобиля мы не выбросили его на свалку, а могли бы продать его либо как автомобиль, либо как металлолом, хотя бы за 1000руб., то к найденной современной стоимости добавилось бы слагаемое  и теперь автомобиль можно было бы покупать за сумму, не превосходящую R + 452,3259579,85 (у.е.).

Вы решаете через 3 года построить гараж, на строительство которого вам потребуется 6000руб. Ставка банка составляет 35% годовых. Определим современную стоимость этого платежа.

Решение:

По формуле R= при S = 15 000 , r = 0,3, находим

R= Итак, достаточно сегодня положить в банк 2348,65 руб. под 35%, чтобы через 3 года получить необходимые 6000 руб.

Вы застраховали свое имущество на 15000руб. При банковской ставке 30% современная стоимость суммы страховки составляет 1838,84 руб. На сколько лет вы застраховали имущество?

Решение:

Используя формулу R=  при S = 15000, r = 0,3, 

R = 1838,84, найдите  Подбором находим, что  т.е. n=8.

Зависимость объема потребления некоторого товара X (ед.) от дохода потребителя M (у.е.), задаваемого в целых неотрицательных числах, определяется функцией   как 

При S = 10 объем потребления не превзойдет величины …

Варианты ответа:

a) 100б) 102в) 98г) 96

Решение:
Вычислим  как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  Тогда из предложенных ответов условию задачи удовлетворяют значения X, равные 100 и 102.

Зависимость мощности x (кВт) потребляемой предприятием электроэнергии от текущего времени суток t (час.) выражается формулой

Объем потребления S (t) электроэнергии при  можно определить как …

Варианты ответа:

a) 

б) 

в) 

г) 

Зависимость мощности x (кВт) потребляемой предприятием электроэнергии от текущего времени суток t (час.) выражается формулой

Установите соответствие между промежутком времени и объемом потребления электроэнергии.

Варианты ответа:

1.  

2. 

3. 

• 400
• 1200
• 5100
• 2400

Решение:

1. Так как 

2. Так как 

3. Так как 

.

Зависимость мощности x (кВт) потребляемой предприятием электроэнергии от текущего времени суток t (час.) выражается формулой

Среднечасовое потребление электроэнергии в течение суток равно …

Напишите ответ: ___________________

Решение:

Среднечасовое потребление электроэнергии в течение суток можно определить как: 

Тогда : .

Дневной объем производства X (ед.) зависит от числа работников L как  Стоимость единицы продукции равна 10 у.е., а дневная заработная плата работника равна 5 у.е.  Если других издержек производств, кроме заработной платы, нет, то функция прибыли  имеет вид …

Варианты ответа:

a) 

б) 

в) 

г) 

Решение:

Так как прибыль Y равна разности между выручкой от реализации и издержками производства, то

Дневной объем производства X (ед.) зависит от числа работников L как  Стоимость единицы продукции равна 10 у.е., а дневная заработная плата работника равна 5 у.е. Число работников, при котором прибыль будет наибольшей, равно …

Напишите ответ:____________________

Решение:

Вычислим производную функции  как производную по непрерывному аргументу  ТогдаРешив уравнение , получаем L= 49. Так как  при

Дневной объем производства X (ед.) зависит от числа работников L как Стоимость единицы продукции равна 10 у.е., а дневная заработная плата работника равна 5 у.е. Прибыль возрастет, если число работников увеличится от  равном _______ до   равном …

Варианты ответа:

a)   

б) 

в) 

г) 

Решение:

Так как прибыль возрастает при  то есть при  то из предложенных ответов условию задачи удовлетворяют пары 

 и 

Область допустимых решений ABCD задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда минимальное значение функции  достигается в точке …

Варианты ответа:

a) Bб) Oв) Aг) C

Решение:

Построим линию уровня  и градиент целевой функции  . Тогда целевая функция будет принимать наименьшее значение в точке «входа» линии уровня в область допустимых решений в направлении градиента.

Из рисунка видно, что точкой минимума будет точка B как точка «входа» линии уровня  в область допустимых решений в направлении градиента.

Область допустимых решений ABCDE задачи линейного программирования имеет вид:
 

Тогда максимальное значение функции  равно …

Варианты ответа:

a) – 4  б) – 12  в) 0г) 4

Решение:

Построим линию уровня  и градиент целевой функции . Тогда целевая функция будет принимать наибольшее значение в точке «выхода» линии уровня из области допустимых решений в направлении градиента. Это точка D (4, 0).

Следовательно, .

Область допустимых решений ОАВС задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции F(x)= 4x1 + 3x2 равно …

Варианты ответа:

1. 55
2. 35
3. 50
4. 65

Решение:

Построим линию уровня F(x) = 4x1 + 3x2 = 0 и градиент целевой функции

gradF = (4; 3) .Тогда целевая функция будет принимать наибольшее

значение в точке «выхода» линии уровня из области допустимых решений в направлении градиента. Это точка B(10, 5)

Следовательно, Fmax =F(10, 5) = 4 10 + 3 5 = 55.

Область допустимых значений OABCD задачи линейного программирования имеет вид, Представленный на рисунке. Тогда максимальное значение функции достигается в точке …

Решение:

Построим линию уровня  и градиент целевой функции grad F = . Тогда целевая функция будет принимать наибольшее значение в точке «выхода» линии уровня из области допустимых решений в направлении градиента.

Из рисунка видно, что точкой максимума будет точка B.

Область допустимых решений ABCDE задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда минимальное значение функции F(x) = 3x1 + x2 достигается в точке…

1. В
2. О
3. С
4. D

Решение:

Построим линию уровня 3x1 + x2  = 0и градиент целевой функции gradF = (3; 1) .Тогда целевая функция будет принимать наименьшеезначение в точке «входа» линии уровня в область допустимых решений в направлении градиента.

Из рисунка видно, что точкой минимума будет точка В как точка «входа» линии уровня F(x) = const в область допустимых решений в направлении градиента.

Кривая безразличия задана уравнением U =  = 20, а оптимальный набор благ потребителя имеет вид X = 80 Y = 10. Тогда предельная норма замены блага Y благом X равна …

Решение:

Предельная норма замены блага Y благом X вычисляется по формуле

SXY=  . Тогда SX =  =  . А в точке (80; 10) SY =  = 16.

Равновесный объем спроса-предложения равен 3, а равновесная цена спроса-предложения равна 2. Тогда функции спроса q = q(p) и предложения s =s(p) могут иметь вид

1. q =  , s = 0,5p + 2
2. q = 0,5p + 2, s = 
3. q = , s = 2p + 3
4. q =  , s = 0,5p + 2

Решение:

В качестве функции спроса q = q(p) можно взять убывающую функцию, которая проходит через точку с координатамиp =2, q = 3, а в качестве функции предложения  s =s(p) можно взять возрастающую функцию, которая проходит через точку с такими же координатами  p =2, s = 3. Этим условиям удовлетворяет, например, пара функций q =  и s = 0,5p + 2

Даны наборы благ потребителя А(10;72), В(25;30), С(15;48) и D(20;36). Тогда на

одной кривой безразличия U(X,Y) =  = C не лежат «точки» …

1.      А и B
2.      А и С
3.      D и C
4.      A и D

Решение:

Вычислим значения функции U(X,Y) =  в данных точках:

U(A) =  = 12, U(B) =  = 5, U(C) =  =12.

U(D) = = 12 . Так как U(A) = U(C) = U(D), то на одной кривой

безразличия не лежат, например, точки А и В.

Дана функция спроса по цене D(p) = ,  0. Тогда спрос будетэластичным при …

1. p  5
2. 0 5
3. p5 – p0
4. 0  5 – p0

Решение:

Коэффициент эластичности спроса по цене вычисляется по формуле:

Ɛp=  . Тогда Ɛp=  × p = -0.04p2 . Спрос считается эластичным, если , то есть 1. C учетом того, что p 0,получаем: p.

Дана функция спроса по цене D(p) = ,  0. Тогда спрос будетэластичным при …

1. p  5
2. 0 5
3. p5 – p0
4. 0  5 – p0

Решение:

Коэффициент эластичности спроса по цене вычисляется по формуле:

Ɛp=  . Тогда Ɛp=  × p = -0.04p2 . Спрос считается эластичным, если , то есть 1. C учетом того, что p 0,получаем: p.