- Главная
- Математический анализ
- Элементы математического анализа в примерах и задачах
- 5.5 Задачи для самостоятельного решения
5.5 Задачи для самостоятельного решения
Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u=1≤t≤8,где t-рабочее время в часах .Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
Функция спроса q= и предложения s=p+2,где q и s-количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени,p-цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б)эластичность спроса и предложения; в)изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.
Зависимость между спросом q и ценой p за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением q=18-Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при p=100 и p=150 ден.ед?
Задана функция y=f(x) полных затрат предприятия на производство x единиц продукции. Определить связь между коэффициентом эластичности полных и средних затрат.
Найти функцию спроса, если
Функции спроса и (соответственно) предложения имеют вид:
Qd=25-2p+3 Qs=15-p+4
Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент p=9.
Найти функцию спроса, если известно значение цены p при некотором спросе y и эластичность имеет следующий вид:
a) ;
б), 0 < p < 20, p=18 при y=1.
Функции спроса и предложения на некоторый товар имеет вид:
Qd=50-2p-4 Qs=70+2p-5
a) Найти зависимость равновесной цены от времени, если p(0)=10.
б) Является ли равновесная цена устойчивой?
Функции спроса и предложения на некоторый товар имеет вид:
Qd=30-p-4 Qs=20+p+
a) Найти зависимость равновесной цены от времени.
б) Является ли равновесная цена устойчивой?
Известно, что зависимость издержек и дохода от объема производства определяется функциями: и , где – объем производства; – издержки; – доход; a, b, c, d, e – параметры.
Найти зависимость прибыли от объема производства.
Построить график функции прибыли производства.
Найти объемы производства, при которых:
а) прибыль равна нулю;
б) прибыль максимальна;
в) убытки максимальны.
3) Найти значения максимальных убытков и прибыли.
4) Найти средние значения прибыли при объеме производства q=1,5 ед.
5) Найти предельное значение прибыли при объеме производства q=2,5 ед.
При необходимости результаты округлить до 0,01.
Варианты |
Параметры |
||||
a |
b |
c |
d |
e |
|
1 |
8 |
1 |
18 |
8 |
1 |
2 |
9 |
2 |
19 |
9 |
1 |
3 |
10 |
2 |
20 |
9 |
1 |
4 |
11 |
1 |
23 |
9 |
1 |
5 |
12 |
1 |
24 |
9 |
1 |
6 |
10 |
2 |
22 |
10 |
1 |
7 |
13 |
2 |
25 |
10 |
1 |
8 |
14 |
1 |
26 |
9 |
1 |
9 |
14 |
2 |
24 |
9 |
1 |
10 |
5 |
1 |
13 |
7 |
1 |
Задана функция полезности , где х и у – некоторые блага.
1) Найти, в каком направлении функция полезности возрастет в точке А быстрее всего.
2) Найти наибольшую скорость возрастания функции полезности в точке А.
1 |
А (1;2) |
6 |
А (3;4) |
||
2 |
А (1;4) |
7 |
А (1;1) |
||
3 |
А (3;2) |
8 |
А (2;0) |
||
4 |
А (3;4) |
9 |
А (3;4) |
||
5 |
А (1;2) |
10 |
А (1;3) |
Фирма производит два вида товаров – и , и – цены на эти товары; – функция затрат. Найти план производства, при котором функция прибыли максимальна.
№ вар. |
№ вар |
||||||
1 |
7 |
14 |
6 |
6 |
3 |
||
2 |
8 |
4 |
7 |
16 |
12 |
||
3 |
33 |
11 |
8 |
12 |
9 |
||
4 |
8 |
16 |
9 |
14 |
21 |
||
5 |
6 |
3 |
10 |
22 |
11 |
Определить объем продукции , произведенной рабочим за промежуток времени от до , если производительность труда характеризуется функцией .
1 |
6 |
||||||
2 |
7 |
||||||
3 |
8 |
||||||
4 |
9 |
||||||
5 |
10 |
Производственная функция имеет вид: Q = 2Kl/2L1/2, PL = 4, Рк = 3, ТС= 24. Какая комбинация факторов К и L обеспечивает максимальный выпуск?
Определить равновесную цену на автомобили (в долларах) и объем продаж, если кривая спроса на автомобили для некоторого периода времени может быть описана уравнением: x1 = 12000 – 0,2∙х2, а уравнение кривой предложений имеет вид; x1 = 300 +0,1∙х2, Здесь x1 – цена автомобиля (в долларах), а х2 – их количество.
Рынок пшеницы характеризуется следующими функциями: QD = 3550 – 266∙Р и QS = 1800 + 240∙Р. Функция внутреннего спроса на пшеницу: Qd = 1000 – 46∙Р. Спрос на внешнем рынке сократился на 40%. Как повлияло падение спроса на внешнем рынке на доходы от продажи пшеницы? Предположим, что правительство установило цену на всю пшеницу на уровне 3$ и закупило образовавшиеся излишки. Сколько пшеницы и на какую сумму оно должно будет закупить ее?
Функция спроса на товар описывается формулой QD = 600 – Р, функция предложения – QS = 2∙Р – 300. Найти:
1) равновесие на рынке;
2) равновесный объем выпуска в денежном выражении;
3) что произойдет, если государство установит фиксированную цену на товар на уровне 350 денежных единиц? 200 денежных единиц?
За 5 рублей будет предложена 1 единица товара. За 6 рублей – 4 единицы, а за 7 рублей – 9 единиц. Функция предложения квадратичная. Задать функцию Q(Р)? Найти область определения функции.
По цене 7 рублей покупатель желает купить 3 единицы товара, по цене 4 рубля – 8 единиц. Функция спроса линейная. Задать функцию спроса Q(Р)?
а) построить модель рынка. Найти Е (равновесные цену и объем продаж);
б) ввели налог Т, равный 1 рубль с каждой единицы товара. Как изменится равновесие (налог платят продавцы).
Цена изменялась от 600 рублей до 900 рублей, при этом изменение величины спроса составило от 800 до 400 единиц товара, а величины предложения – от 3000 до 4800 единиц. Найти:
1) диапазон изменения цен и объемов продаж;
2) точку равновесия спроса и предложения;
3) предположим, что государство ввело налог на каждую единицу товара в размере 15 рублей (платит продавец). Исходя из этого, найти новую функцию предложения и новое рыночное равновесие. Сравнить суммы, полученные продавцом до и после введения налога.
Изобразите кривую спроса QD = 5 – 2,5∙Р. Как будет выглядеть кривая спроса, если:
1) он увеличится на 10%;
2) сократится на 20%;
3) сократится в два раза?
Постройте кривую суммарного спроса на основании данных об индивидуальном спросе:
Q1 = 100 – 4P при P ≤ 25;
Q2 = 80 – 2P при P ≤ 40;
Q3 = 30 – P при P ≤ 30.
Постройте кривую суммарного предложения на основании данных об индивидуальном предложении:
Q1 = 100 + 4P при 5 ≤ P ≤ 25;
Q2 = 80 + P при 5 ≤ P ≤ 40;
Q3 = 30 + 3P при 5 ≤ P ≤ 50.
В таблице представлены данные об индивидуальном предложении апельсинов.
Цена за 1кг, ден. ед. |
Индивидуальное предложение, кг/день |
|||
Q1 |
Q2 |
Q3 |
Q4 |
|
2 |
0 |
4,5 |
3 |
5 |
5 |
2 |
7 |
7,5 |
11 |
6 |
2,5 |
7,5 |
9 |
13 |
7 |
3 |
8.5 |
10 |
15 |
9 |
4 |
10 |
14 |
19 |
Найдите рыночное предложение табличным, аналитическим и графическим путем.
Цена билета на городской автобус равна 3 долларам, количество пассажиров составляет 10800 человек в день. Ценовая эластичность по цене: спроса = -0,6, предложения = 1. Определить функции спроса и предложения.
Эластичность предложения равна 4, цена товара равна 12 долларам, величина спроса равна 15000. Определить функции предложения и спроса.
Капитал в 1 млн. рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, где эффективность вложения ожидается в размере 100%, издержки пропорциональны квадрату вложенных средств с коэффициентом k = 0,1, а прибыль облагается налогом в p% (p < 100). При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, чем полное размещение капитала в банке?
Фермер решает вопрос о производстве и поставках на рынок зерна и хочет найти условия получения наибольшей прибыли. В первую очередь он проанализировал возможные издержки. Естественно, что издержки производства растут с увеличением объема x произведенной продукции (зерна): этот рост может предложить линейным: ax, где a – некоторый технологический коэффициент. В то же время увеличение объема производства зерна приводит к возрастанию «функции риска», определяемый возможностью не собрать весь урожай, невозможностью сохранить качество зерна до его продажи и, наконец, невозможностью продать зерно из-за его перепроизводства. «Функция риска» было оценена им как , где – также некоторый технологический параметр. Таким образом, совокупные издержки можно описать функцией: При каком объеме производстве фермер будет имеет наибольшую прибыль, если продаст весь урожай по финансовой цене Р р. за 1 т. (Р > a)? Какова эта прибыль, если, предположительно, Р = 2000, а = 200, = 0,06?
Производственные мощности позволяют предприятию «Глюкоза» выпускать не более 600 т сахара в год. Зависимость величины совокупных издержек Qs (Q) = 10Q + 1000. Связь между годовым объемом продаж сахара, совпадающим с Q, и ценой на сахар P (тыс.р./т) описывается функцией Найти с точностью до 1% рентабельность производства по издержкам, если в течении календарного года цена сахар не изменилась, а предприятие получит в этом году максимальную прибыль.
Определите скорость изменения спроса (предельный спрос) при цене в 1 у.е., 3 у.е., если зависимость спроса на товар от цены выражается формулой . Результаты сравнить и объяснить.
Первоначальный вклад, положенный в банк под р % годовых, составил а млн. руб. Найти вклад через t лет, при начислении процентов: а) ежегодном; б) ежеквартальном; в) непрерывном.
№ вар. |
р |
а |
t |
1 |
20 |
1 |
5 |
2 |
25 |
2 |
4 |
3 |
20 |
3 |
10 |
4 |
40 |
2 |
10 |
5 |
40 |
1 |
5 |
6 |
50 |
1 |
8 |
7 |
50 |
2 |
6 |
8 |
25 |
3 |
12 |
9 |
30 |
4 |
5 |
10 |
40 |
1 |
10 |
Зависимость полных издержек производства FС от объема производства x выражается формулой: FC. Определите, при каком объеме производства средние издержки минимальны.
Функция спроса на товар имеет вид QD(P) = 80 + 16P – P, где P – цена. Определите уровень цен, соответствующий максимальному спросу на товар, исчезновению спроса на него. При какой цене предельный спрос будет равен 10, чему равен темп изменения спроса при этой цене?
Предприятие производит х единиц продукции в месяц и реализует по ценеq. Суммарные издержки производства составляют . Определите, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальная.
Объем выпущенной предприятием продукции q и выручка W, полученная от ее реализации, связанны зависимостью . Найдите предельную выручку и постройте ее график. Определите, при каком объеме производства выручка будет максимальная.
Функция издержек производства продукции некоторой фирмы имеет вид: (ден.ед). Найти средние и предельные издержки производства и вычислить их значение при q= 10.
Функция потребления некоторой страны имеет вид, где х – совокупный национальный доход (ден.ед.). Найти:
а) предельную склонность к потреблению;
б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27 ден.ед.
Объем производства зимней обуви и, выпускаемой некой фирмой, может быть описано уравнением (ед.), где t – календарный месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения:
а) в начале года (t = 0);
б) в середине года (t = 6);
в) в конце года (t = 12).
Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.
Выручка от продажи конфет составляет , где q – объем проданной продукции (тыс.ед.). Найти среднюю и предельную выручку, если продано:
а) 10 тыс.ед.;
б) 60тыс.ед.
Функция издержек производства FC от объема выпускаемой продукции q имеет вид FC = 100q – 0,2q.Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.
Себестоимость продукции у связана с объемом выпускаемой продукции х уравнением:.Определить среднюю и предельную себестоимость выпускаемой продукции при объеме, равном 10 ед.
Производительность труда бригады может быть описана уравнение ,где 0– рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.
Себестоимость производства телевизоров у (в тыс.руб) описывается функцией , где х – объем выпускаемой продукции в месяц (тыс.ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске 20 и 40 тыс.ед. продукции.
Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где х – совокупный национальный доход. Найти:
а) предельную склонность к потреблению;
б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.
Функция сбережения некоторой страны составляет формулу: , где х – совокупный национальный доход. Найти:
а) предельную склонность к потреблению;
б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.
Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн.руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс.шт.) выражается уравнением . Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс.шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятия об изменении величины объема выпускаемой продукции?
Функция полных затрат в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением: . При каком объеме производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициент эластичности полных и средних затрат при данном объеме.
Зависимость между объемом выпуска готовой продукции у (млн.руб.) и объемов производственных фондов х (млн.руб) выражается уравнением у = 0,6х – 4. Найти эластичность выпуска продукции для предприятия, имеющего фонды в размере 40 млн. руб.
Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (в руб.) и выпуском продукции х (в млн.руб) выражается уравнением у = ‑ 0,5х + 80. Найдите эластичность себестоимости при выпуске продукции на 30 млн.руб.
Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии х (тыс.ед.) и затратами на их изготовление у (тыс. руб) для предприятия выражается формулой . Найти эластичность затрат для предприятия, выпускающего по 10 тыс.деталей в партии
Найти эластичность функции спроса при заданной стоимости р: а) q + 10p = 50, p = 3;
б) 5q + 3p = 70, p = 10;
в) + p + 4q = 26, p = 2, p = 4.
Для следующих функций спроса найдите значение р, при которых спрос является эластичным:
а);
б) ;
в) 2p + 3q = 12.
Заданы функции спроса q и предложения s от цены х: q = 10 – x, s = 3x – 6. Найти:
а) равновесную цену;
б) эластичность спроси и предложения для равновесной цены;
в) изменение дохода при изменении равновесной цены 5%.
Функция спроса q и предложения s на некоторый товар от его цены х задаются уравнениями: . Найти:
а) равновесную цену;
б) эластичность спроси и предложения для равновесной цены;
в) изменение дохода при изменении равновесной цены 5%.
Зависимость потребления у от дохода х задается функцией . Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра а и стремится к 0 при неограниченном возрастании дохода.
Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье трех видов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида задана матрицей .
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей B = (10 15).Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого виде, 200 единиц продукции второго вида, 159 единиц продукции третьего вида.
Издержки производства некоторого товара равны TC = 4 + 15Q; спрос на товар определяется функцией . Найти объем продукции Q, максимизирующий прибыли.
Функция спроса на товар имеет вид Р = 7 –, а функция издержек TC = 4,25Q + 0,0125. Найти:
а) объем производства Q, максимизирующий выручку TR, а также соответствующие цену товара Р и величину выручки;
б) цену и количество товара, максимизирующие прибыль;
в) эластичность спроса по цене в точках максимальной прибыли и выручки .
Функция спроса на товар QD=13-P, а функция предложения QS=-7+P. Определите: а) равновесную цену и объём продаж; б) определите коэффициент эластичности спроса и по цене на интервале от 20 до 24 рублей; в) определите излишек потребителя и производителя, чистый общественный выигрыш. г) определите цену и объём продаж после сокращения спроса на 10% д) государство ввело фиксированную цену, равную 50% равновесной. Вычислите величину дефицита товара. Фиксированная цена, равная 50% равновесной Рфикс=5 руб
Функции спроса и предложения имеют вид: QD=200-4P, QS=6P-100. Определите равновесные значения P и Q до и после введения налога t=10 рублей на единицу товара. Определите распределение налога между продавцом и покупателем.