2.5 Приложения определенного интеграла в экономике

найти дневную выработку P за рабочий день с 8 часов до 14 часов, если производительность труда задана эмпирической формулой

(Эта формула отражает процесс работы, при котором производительность растет на протяжении первых двух часов, а затем падает.)

Решение. Рассматривая функцию производительности, выразим дневную выработку интегралом:

Итак, за указанный промежуток времени произведено 54 единицы продукции.

Определить объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от  до , если производительность труда характеризуется функцией , , .

Решение. Объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от  до , будет выражаться формулой .

В нашем случае

Выше мы рассматривали, в частности, предельные издержки, задаваемые производной функции издержек  S(x): MS=S’(x). Эта производная характеризует затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Рассмотрим задачу нахождения функции издержек по данной функции предельных издержек.

Задана функция предельных издержек MS=3-40x+125, x [0,30]. Найти функцию издержек S(x) и вычислить издержки при производстве 20 единиц продукции, если известно, что издержки для производства первой единицы продукции составляют 100 денежных единиц.

Решение. Функцию издержек находим интегрированием: . При этом константа С определяется условием S(1)=100, так что С=100, так что интеграл обращается в нуль.

Получаем функцию издержек:

S(x)=

Доставляя x=20, находим

S(20)=2600.

Еще одним примером положения определенного интеграла является дисконтирование. Дисконтированием называется определение начальной денежной суммы S по ее конечной величине  через время t при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Как было установлено ранее, при непрерывном начислении процентов конечная сумма рассчитывается по формуле 

.

Полная дисконтированная сумма  за время T выражается формулой