Максимизация прибыли.

Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые: предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению и т.д. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.

Пусть q – количество произведенной продукции, С(q) – соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки обозначаются МС и определяются как дополнительные издержки, связанные с производством дополнительной единицы продукции. Другими словами, MC = C∙(q + ∆q) – C(q),где ∆q = 1. Используя равенство ∆С = dC, получим, MC = ∆CdC = C'(q) ∙ ∆q = C'(q).

E:\График.jpg

Рис. 6.

Таким образом, данное выше определение МС, по существу, не противоречит другому распространенному определению, согласно которому МС = С'.

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма. Пусть С=С(q)- функция издержек, r=r(q) – функция дохода, =(x) – функция прибыли. Тогда  (q)=r(q)-C(q). Оптимальным уровнем производства, очевидно, является такой, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска  , при котором  функция прибыли  (q) имеет максимум. В силу теоремы Ферма в этой точке q =  производная равна нулю: ’()=0. Но ’(q)=D’(q)-S’(q), поэтому

 

D’()=S’().         (*)

 

 

 

Производная C’(q) выражает предельные издержки MC, а производственная r’(q) – предельный подход Mr. Таким образом, равенство (*), полученное с помощью теоремы Ферма, приобретая вид MC () = Mr ().

Последнее равенство есть выражение одного из базовых законов микроэкономики: максимум прибыли достигается при равенстве предельных издержек и предельного дохода.

Оптимизация налогообложения.

Пусть t – налог с единицы выпускаемой продукции, C=C(q)- функция издержек, r=r(q) – функция дохода, =(q) – функция прибыли. Тогда функция прибыли имеет вид: .

Пусть, например, цена на продукцию , т.е. линейно уменьшается с увеличением объема продукции, а функция издержек имеет вид .

Здесь a,b,c, - некоторые положительные константы. Функция прибыли в этом случае имеет вид

.

Желая максимизировать прибыль, фирма ищет оптимальный объем производства. Условие максимума прибыли: , откуда .

При таком значении объема продукции суммарный налог T имеет вид . Интересы государства заключаются в том, чтобы величина T была максимальной. Дифференцируем T и, приравнивая производную к нулю: .

 
Пример 1.

Рассмотрим эту задачу при конкретных числовых значениях констант a,b,и с.Пусть a=80, b=1, c=10. Тогда  При этих значениях максимальная величина прибыли  (Заметим, что при отсутствии налогов максимальная прибыль достигалась бы при вдвое большем объеме производства  )

 

 

 

Функции двух переменных в экономике.

Рассмотрим еще раз максимизацию прибыли.

Пусть F(K,L)-производственная функция (где K и L – соответственно затраты капитала и трудовых ресурсов), P- цена продукции. Функция прибыли П вычисляется обычно по формуле

Где W и R – соответственно цены на труд и капитальные затраты, W и R – положительные числа.

Точка () называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли принимает максимальное значение.

Рассмотрим задачу: найти предельную норму замещения производственной функции F

При оптимальном плане.

В точке локального максимума первые частные производные функции прибыли П() равны нулю. Система в данном случае имеет вид

Отсюда .

Рассмотрим теперь задачу максимизации функции прибыли.

 
Пример 2.
 
Пример 3.
 
Пример 4.
 
Пример 5.
 
Пример 6.
 
Пример 7.
 
Пример 8.
 
Пример 9.
 
Пример 10.
 
Пример 11.
 
Пример 12.
 
Пример 13.
 
Пример 14.
 
Пример 15.
 
Пример 16.
 
Пример 17.

Написать комментарий

Ваше имя:


Ваш комментарий:
Введите код, указанный на картинке:



Продолжить