5.2 Эластичность и ее свойства

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции у = f(x) в точке  называется следующий предел 

Говорят также, что  – это коэффициент эластичности у по х.

Мы будем часто использовать сокращенные обозначения  и .

Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых  выполняется приближенное равенство, которое можно записать в виде . Отсюда следует, что эластичность Еу – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на  процентов.

Выражение эластичности через производные функции:  или .

Если и , то для существования конечного предела  в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная f'(x0). Представим отношение  как логарифмическую производную. Соответственно, формула  примет вид .

Кроме того , поэтому эластичность  совпадает с отношением логарифмических производных .

Перейдем теперь к логарифмической производной и её приложениям. Пусть функция 

 положительна и дифференцируема в точке x. Как уже отмечалось, в частности, при выводе формулы производной для показательной функции производная от функции

имеет вид:

[]’= , или ()’=.

Это выражение называется логарифмической производной функции f(x). Логарифмическую производную называют также темпом изменения  функции y: 

Во многих прикладных задачах используется понятие эластичность функции.

Определение. Эластичностью  функции называется предел отношения относительного приращения функции  к относительному приращению аргумента при :

Эластичность функции приближенно выражает процентное изменение функции  при изменении аргумента  на 1%.

Из формулы следует, что эластичность функции равна произведению независимой переменной  на темп изменения функции :

Отметим свойства эластичности:

,

,   

Очевидным образом следующие из соответствующих свойств логарифмов.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения. Пусть  - функция спроса от цены товара p.

Эластичность спроса относительно цены определяется отношением:

E= 

Процентное изменение спроса – это 

. Поэтому

, или 

При непрерывной зависимости  разностное отношение в выражении заменяют пределом при :

.

Ввиду того, что функция спроса D=D(p) является убывающей, её производная отрицательна и эластичность спроса также отрицательна. (Некоторые авторы определяют эластичность, как положительную величину, ставя перед правой частью формул знак «минус»).

Различают три вида спроса:

1. Эластичный, если ;
2. Нейтральный, если ;
3. Неэластичный, если 

Написать комментарий