▼ Полный дифференциал функции двух переменных определяется частными производными первого порядка функции и записывается в виде .
▼ Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е.
.
▼ Выражение дифференциала второго порядка содержит частные производные соответствующего порядка. Используются разные обозначения частных производных второго порядка:
, ,
, .
▼ Производная по направлению функции определяется выражением вида , где , и – направляющие косинусы.
Градиент функции это вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке .
Найти частные производные функций:
, .
Решение. При дифференцировании по считаем постоянной величину , а при дифференцировании по - величину . Следует учитывать, что для частных производных справедливы правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
, ..
, .
Найти частные производные функции и записать её полный дифференциал.
Решение. Найдем частные производные функции.
.
.
Тогда полный дифференциал запишем в виде:
.
Найти дифференциал второго порядка от функций:
а) , б) , в) .
Решение. А) .Запишем формулу дифференциала и найдем все входящие в него частные производные:
.
, .
, , .
Следовательно,
.
б) Найдем частные производные первого порядка:
, .
От полученных частных производных первого порядка находим частные производные второго порядка. Получим
, , .
Тогда
.
в) .
. , .
Тогда
, , .
Таким образом,
.
Найти производную функции в точке М(3, 2, 1) в направлении вектора, если B (5, 4, 2).
Решение. Определим координаты направляющего вектора
.
Вычислим значения направляющих косинусов:
, ,
Необходимые для расчета частные производные первого порядка имеют вид:
, , .
Тогда производная по направлению :
.
Таким образом, производная по направлению в точке М . Её величина характеризует скорость изменения функции в данном направлении .
Найти величину и направление градиента функции в точке М(;;).
Решение. Определяем вид частных производных функции:
, , .
Определим значения частных производных в точке М:
, , .
Следовательно, градиент функции в точке М: или . Отсюда модуль градиента функции: .Направление градиента функции задают направляющие косинусы: , , .
Написать комментарий
Ваше имя:Ваш комментарий:
Введите код, указанный на картинке: