▼ Полный дифференциал функции двух переменных  определяется частными производными первого порядка функции и записывается в виде .

▼ Дифференциалом второго порядка функции  называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е.

.

▼ Выражение дифференциала второго порядка содержит частные производные соответствующего порядка. Используются разные обозначения частных производных второго порядка:

,  ,

, .

 

▼ Производная по направлению функции  определяется выражением вида , где ,  и  – направляющие косинусы.

 

Градиент функции  это вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке .

 
Пример 1.

Найти частные производные функций:

, .

Решение. При дифференцировании по  считаем постоянной величину , а при дифференцировании по  - величину . Следует учитывать, что для частных производных справедливы правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

,  ..

, .

 
Пример 2.

Найти частные производные функции  и записать её полный дифференциал.

Решение. Найдем частные производные функции.

.

.

Тогда полный дифференциал запишем в виде:

.

 
Пример 3.

Найти дифференциал второго порядка от функций:

а) , б) , в) .

Решение. А) .Запишем формулу дифференциала и найдем все входящие в него частные производные:

.

, .

, , .

Следовательно,

.

б) Найдем частные производные первого порядка:

, .

От полученных частных производных первого порядка находим частные производные второго порядка. Получим

, , .

Тогда 

.

в) .

. , .

Тогда

, , .

 

 

 

Таким образом,

.

 
Пример 4.

Найти производную функции  в точке М(3, 2, 1) в направлении вектора, если B (5, 4, 2).

Решение. Определим координаты направляющего вектора

.

Вычислим значения направляющих косинусов:

, , 

Необходимые для расчета частные производные первого порядка имеют вид:

, , .

Тогда производная по направлению :

.

Таким образом, производная по направлению в точке М . Её величина характеризует скорость изменения функции  в данном направлении .

 
Пример 5.

 Найти величину и направление градиента функции  в точке М(;;).

Решение. Определяем вид частных производных функции:

,  ,  .

 

 

 

Определим значения частных производных в точке М:

, , .

Следовательно, градиент функции в точке М: или . Отсюда модуль градиента функции: .Направление градиента функции задают направляющие косинусы: , , .

 

Написать комментарий

Ваше имя:


Ваш комментарий:
Введите код, указанный на картинке:



Продолжить