▼ Полный дифференциал функции двух переменных определяется частными производными первого порядка функции и записывается в виде
.
▼ Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е.
.
▼ Выражение дифференциала второго порядка содержит частные производные соответствующего порядка. Используются разные обозначения частных производных второго порядка:
,
,
,
.
▼ Производная по направлению функции определяется выражением вида
, где
,
и
– направляющие косинусы.
Градиент функции это вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке
.
Найти частные производные функций:
,
.
Решение. При дифференцировании по считаем постоянной величину
, а при дифференцировании по
- величину
. Следует учитывать, что для частных производных справедливы правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
,
..
,
.
Найти частные производные функции и записать её полный дифференциал.
Решение. Найдем частные производные функции.
.
.
Тогда полный дифференциал запишем в виде:
.
Найти дифференциал второго порядка от функций:
а) , б)
, в)
.
Решение. А) .Запишем формулу дифференциала и найдем все входящие в него частные производные:
.
,
.
,
,
.
Следовательно,
.
б) Найдем частные производные первого порядка:
,
.
От полученных частных производных первого порядка находим частные производные второго порядка. Получим
,
,
.
Тогда
.
в) .
.
,
.
Тогда
,
,
.
Таким образом,
.
Найти производную функции в точке М(3, 2, 1) в направлении вектора
, если B (5, 4, 2).
Решение. Определим координаты направляющего вектора
.
Вычислим значения направляющих косинусов:
,
,
Необходимые для расчета частные производные первого порядка имеют вид:
,
,
.
Тогда производная по направлению :
.
Таким образом, производная по направлению в точке М . Её величина характеризует скорость изменения функции
в данном направлении
.
Найти величину и направление градиента функции в точке М(
;
;
).
Решение. Определяем вид частных производных функции:
,
,
.
Определим значения частных производных в точке М:
,
,
.
Следовательно, градиент функции в точке М: или
. Отсюда модуль градиента функции:
.Направление градиента функции задают направляющие косинусы:
,
,
.
Написать комментарий
Ваше имя:Ваш комментарий:
Введите код, указанный на картинке: