3.3 Практические приложения интегрального исчисления

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) и вертикальными прямыми x = a и x = b, находится по формуле

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох кривой y = f(x), ограниченной справа и слева прямыми x = a и x = b, может быть найден по следующей формуле:

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив систему этих уравнений. Получим А(-1,0), B(2,2). На отрезке Тогда

Примеры.

Определить сходимость интегралов.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.[2]

Решение.

а) вычислить площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Построим чертеж:

Очевидно, что площадь криволинейной трапеции CDM(заштрихована на рисунке) может быть найдена как разность площадей двух фигур: ADMB и ACMB.

Фигура ADMBограничена кривой у = х2 и прямыми у = 0, х = 2, х = 1(уравнение последней прямой следует из точки М– точки пересечения параболы у = х2 и прямой у = х). Ее площадь равна:

Фигура ACMB ограничена прямыми у = 0, у = х, х = 2, х = 1 и ее площадь равна: .В итоге получаем:

Ответ:

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 = 2х, прямой х = 3 и осью Ох.

Построим вспомогательный чертеж.

Криволинейная трапеция CDMограничена кривой у2 = 2х и прямыми у = 0, х = 0, х = 3. В этом случае объем тела вращения равен:

Теперь вычислим определенный интеграл:

Ответ: .