3.2 Техника интегрирования в неопределенном и определенном интегралах

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести интеграл к табличному, либо значительно упростить его. 

Положим . Тогда 

 

10

Если -дифференцируемые функции, то справедлива формула:

, для определённого интеграла-, называемая формулой интегрирования по частям.

При её применении подынтегральное выражение разбивается на два сомножителя: и . При переходе к правой части первый из них дифференцируется, а второй интегрируется.

▼ Типы интегралов, для которых используется формула интегрирования по частям:

1., где a,m- действительные числа, n-целое положительное число. Здесь -оставшиеся сомножители;

2.

, k-действительное число, n-целое положительное число. В этих интегралах полагают остальные сомножители.

.

Выделим частное и остаток от деления числителя на знаменатель:

.

. разложим подынтегральную функцию:

, откуда .

Два многочлена считаются равными, если совпадают коэффициенты при одинаковых степенях x, тогда: A+B=1; 6A-B=2.

Отсюда Окончательно имеем

▼ Интегрирование тригонометрических функций

▼ В интегралах вида где m и n –целые чётные положительные числа, применяются формулы преобразований:

Если m или n- нечётное положительное число, интеграл находят, отделяя от нечётной степени один множитель.