1.3. Применение пределов для исследования функции на непрерывность

Исследовать функцию на непрерывность в точках 

Решение.

▼ По определению, функция непрерывна в точке, если односторонние пределы функции в этой точке равны между собой, и равны значению функции в этой точке.

Для точки х1 = 3 найдем односторонние пределы:

Найденные пределы не равны между собой, а один из них равен бесконечности, следовательно в точке х1 = 3 функция терпит разрыв второго рода.

Для точки х2 = 4 имеем:

 Следовательно, в точке х2 = 4 функция непрерывна.

Исследовать функцию  на непрерывность.

Решение. Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция f(x) непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек  и . Исследуем функцию  на непрерывность в этих точках.

Для этого найдем пределы функции в точках  и  слева и справа:

, значит .

Найдем . , т. е. , следовательно, функция непрерывна в точке .

, следовательно, в точке  функция терпит разрыв.

Таким образом, исходная функция f(x) непрерывна всюду кроме точки , которая является точкой разрыва первого рода.

Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна          

Рис. 1.

Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна             в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Рис. 2.

Исследовать на непрерывность функцию  в точках  и .

Решение: Легко видеть, что при  , таким образом, в точке  данная функция непрерывна, а в точке  функция  неопределенна. Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:

 
 значит, точка  является точкой разрыва функции, а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.