- Главная
- Математический анализ
- Элементы математического анализа в примерах и задачах
- 1.2 Техника вычисления пределов
1.2 Техника вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Используя определение предела, доказать, что , указать .
Доказательство. Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого найти номер такой, что при любых выполнялось неравенство .
Рассмотрим выражение под знаком модуля .
Так как можно записать цепочку неравенств . Так как нам не требуется найти наименьшее , можно записать , откуда и в этом случае — целая часть числа .
Итак, получается, что при выполнено неравенство , что и требовалось доказать.
Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.
Решение. Найдем член последовательности {xn+1}=
Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= , т.к. nN, то знаменатель положительный при любом n.
Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {xn} = .
Решение. Найдем . Найдем разность , т.к. nN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Предел функции в точке х0.
Решение.
Для раскрытия неопределенности [0/0] раскладываем многочлены на множители. Выделяем в числителе и знаменателе сомножитель, который дает неопределенность. Для квадратного многочлена используется поиск корней через дискриминант. Для многочленов более высокого порядка используется прием деления многочлена на (х – х0).
Вычислить предел:
..
Решение:
Для раскрытия неопределенности [0/0] разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что . Так как при , значит, делится на .
Поделим «столбиком» многочлен x3 +2x-3 на двучлен x-1 :
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Следовательно,
Предел функции в бесконечности. Найти .
Решение.
Имеем неопределённость вида [∞/∞]. Для раскрытия неопределённости разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень х, т.е. на х3, предварительно раскрыв скобки.
При раскрытии неопределенности [∞/∞] предела отношения двух многочленов можно воспользоваться следующим правилом:
Например,
Для раскрытия неопределенности [0/0] при нахождении предела функции умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение, содержащее квадратный корень:
Решение. .
При получаем в пределе неопределенность . Для вычисления данного предела домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение , получим:
В числителе имеем разность квадратов:
Раскрывая скобки в числителе и упрощая его, получим предел:
. При получаем неопределенность [∞/∞]. Для раскрытия неопределенности разделим выражения, стоящие в числителе и знаменателе, на высшую степень х (в числителе высшая степень – 1, в знаменателе тоже, поэтому делим на х в первой степени).
При каждое из выражений стремится к нулю, поэтому числитель стремится к двум, а каждое подкоренное выражение знаменателя стремится к единице. Тогда предел в целом равен:
.
Ответ: 1.
Второй замечательный предел.
Выделяя целую часть у дроби, приводим выражение в скобках к виду второго замечательного предела :
Вычислить предел числовой последовательности .
Решение:
Заметим, что , а , поэтому
Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак,
Найти предел.
Вычислить предел функции
Решение. Заметим, что а поэтому искомый предел равен, т. е. .
Найти предел с помощью правила Лопиталя.
Решение. Под знаком предела числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при , то приходим к неопределенности [0 / 0]. Выполняются все условия для применения правила Лопиталя. Применяя это правило имеем:
.
Первый замечательный предел также может быть использован для нахождения предела функции: .
▼ При стремлении аргумента можно использовать эквивалентные бесконечно малые величины:
sin ax ~ ax, tg ax ~ ax, ex - 1 ~ x, ax – 1 ~ x ln a,
ln(1+x) ~ x, (1+x)m ~ 1+mx,
arcsin x ~ x, arctg x ~ x, 1-cos x ~ x2/2.
Найти предел.
Найти предел.