Примеры выполнения контрольных заданий по темам курса «математический анализ»

Вычислить предел: 

Решение: Числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, стремятся к бесконечности (неопределенность типа ). Для раскрытия этой неопределенности числитель и знаменатель дроби делим почленно на наивысшую степень переменной х в данном выражении, т.е. на .

так как – бесконечно малые величины, при .

Вычислить предел: 

Решение: Числитель знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, стремятся к нулю, т.е. имеем неопределенность типа  Для раскрытия этой неопределенности следует провести тождественные преобразования с целью выделения в числителе и знаменателя множителя (х-3), который обращает их в 0 при x → 0. Для этого числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю -  (тем самым избавимся от иррациональности в числителе). В знаменателе разложим квадратный трёхчлен , на множители:

Получим:

Вычислить: 

Решение: Имеем неопределенность типа  Преобразуем данное выражение следующим образом:

Вспомним что,

 (второй замечательный предел), а

(первый замечательный предел).

При решении применили метод замены переменной: t = arcsin х, тогда x = sin t. Окончательно, получаем:

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию  и построить её график.

Решение: При решении данного задания воспользуемся следующей схемой исследования функции:

а) Найти область определения функции;

б) Исследовать функцию на четность – нечетность, периодичность;

в) Найти вертикальные асимптоты;

г) Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты;

д) Найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

е) Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба;

ж) Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

а) Область определения функции D=(-x;0)(0;+x) – вся числовая ось, кроме точки х=0,(точка, в которой знаменатель обращается в 0).

б) Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. не выполнено ни одно из условий у(-х) = у(х), у(-х) = -у(х). Действительно

Функция не является периодической.

в) Функция непрерывна всюду, кроме точки х=0 (как элементарная). Исследуем поведение функции в точке х=0, для этого рассмотрим пределы функции при  справа и слева:

,

то есть прямая х=0 является вертикальной асимптотой.

г) Найдём наклонные асимптоты кривой: y=kx + b, где

,

Наклонная асимптоты кривой: у = х.

Точек пересечения с осью ординат график функции не имеет, так как функция не определена при х=0. При у=0 имеем

,то есть график функции пересекает ось абсцисс в точке

д) Для определения точек экстремума, интервалов возрастания и убывания функции найдём её первую производную:

Приравняем её к нулю и найдём критические точки:

При х=0 производная не определена, но эта точка не является критической, так как в ней не определена и сама функция. Найдём интервалы знакопостоянства функции (точку х=0 тоже нанесём на ось, так как производная может изменить в ней знак):

Функция возрастает при  и убывает при . В точке х=2 производная меняет знак с “-“ на “+”, следовательно, это точка минимума:.

е) Для определения интервалов выпуклости, вогнутости точек перегиба графика функции найдём вторую производную:

у в области определения функции положительна, поэтому график функции всюду вогнут.

ж) Строим график функции. Сначала строим асимптоты, затем характерные точки:

Рис. 1. График функции 

Найти частные производные первого порядка функции:

Решение: Дифференцируем функцию сначала по х, считая у постоянной, а затем по у, считая х постоянной:

Известно, что зависимость издержек и дохода от объема производства определяется функциями:  и , где  - объем производства;  - издержки;  - доход, , , , , ,к,  - параметры.

Найти зависимость прибыли  от объема производства.

Построить график функции прибыли производства.

Найти объемы производства, при которых:

а) прибыль равную нулю; б) прибыль максимальна; в) убытки максимальны.

3) Найти значения максимальных убытков и прибыли.

4) Найти средние значения прибыли при объеме производства  ед.

5) Найти предельные значения прибыли при объеме производств  ед.

При необходимости результаты округлить до 0,01.

Решение.

Если , .

1) Найдем зависимость прибыли  от объема производства:

,, 7.

2) Исследуем функцию  и построим ее график (рис. 1). Функция  определена и непрерывна на всей числовой прямой. Однако из условия задачи следует, что , поэтому исследуем функцию только для , т.е. в интервале . Находим точки пересечения с осью :

 График функции проходит через точки (0;0), (2;0), (4;0). Исследуем функцию с помощью производных. Имеем:

, . Найдем критические точки:

;   .

Кривая  асимптот не имеет. По полученным данным строим кривую (рис. 2).

3) Анализ функции  (см. выше) показывает, что прибыль равна 0 при объемах производства  и  (точки пересечения графика с осью ).

4) Функции  с осью 0q, прибыль максимальна при q=3,15 (точка максимума функции ), убытки максимальны при q=0,85 (точка минимума функции ).

5) Значение максимальных убытков и прибыли соответственно равны:

, .

6) Учитывая, что среднее значение функции  равно , получим соответственно средние значения прибыли в расчете на единицу объема производства:

.

В частности, при объеме производства q=1,5, получим:

.

Среднее значение прибыли отрицательно. Следовательно, такой объем производства невыгоден. Для увеличения объема прибыли необходимо расширить производство.

7) Так как предельное значение величины  равно , то предельные значения прибыли равно:

.

В частности, при объеме производства q=2,5 получим:

.

Таким образом, при объеме производства q=2,5 прибыль возрастет на 3,25 в расчете на единицу прироста объема производства. Объем производства можно расширить.

Рис. 2. График функции 

Задана функция полезности , где х и у – некоторые блага.

1) Найти, в каком направлении функция полезности возрастает в точке (2;1) быстрее всего.

2) Найти наибольшую скорость возрастания функции полезности в точке (2;1).

Решение.

1) Функция полезности  (скалярная функция) растет быстрее всего в направлении . Найдем частные производные  и  в точке (2;1):

Таким образом,  имеет координаты 1 и 6, т.е. . Следовательно, функция  в точке (2;1) растет быстрее всего в направлении вектора .

2) Скорость наибольшего возрастания функции  в точке (2;1) равна модулю , т.е. .

Пример 8. Производится два вида товаров -  и ,  и  - цены на эти товары,  - функция затрат. Найти план производства, при котором функция прибыли максимальна.

Решение.

Найдем функцию прибыли:

.

Требуется найти максимум этой функции с учетом того, что , .

Найдем частные производные и приравняем их к нулю:

Решая полученную систему, найдем , .

Убедимся, что точка (2;4) есть точка максимума функции , для чего найдем:

; ; .

Так как выражение: , то точка (2;4) есть точка экстремума, а учитывая, что , заключим, что это и точка максимума. Следовательно, максимальная прибыль  достигается при плане производства  и