6. Примеры выполнения контрольных заданий по курсу "Математический анализ"

Пример 1. Вычислить предел:

Решение: Числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, стремятся к бесконечности (неопределенность типа ). Для раскрытия этой неопределенности числитель и знаменатель дроби делим почленно на наивысшую степень переменной х в данном выражении, т.е. на .

так как – бесконечно малые величины, при .

Пример 2. Вычислить предел:

Решение: Числитель знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, стремятся к нулю, т.е. имеем неопределенность типа . Для раскрытия этой неопределенности следует провести тождественные преобразования с целью выделения в числителе и знаменателя множителя (х-3), который обращает их в 0 при x → 0. Для этого числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю - (тем самым избавимся от иррациональности в числителе). В знаменателе разложим квадратный трёхчлен , на множители:

Получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение: Имеем неопределенность типа Преобразуем данное выражение следующим образом:

Вспомним что,(второй замечательный предел), а (первый замечательный предел).

При решении применили метод замены переменной: t = arcsin х, тогда x = sin t.

Окончательно, получаем:

Пример 4. Найти частные производные первого порядка функции:

Решение:

Дифференцируем функцию сначала по х, считая у постоянной, а затем по у, считая х постоянной:

Пример 5. Задана функция полезности , где х и у – некоторые блага.

1) Найти, в каком направлении функция полезности воз-растает в точке (2;1) быстрее всего.

2) Найти наибольшую скорость возрастания функции полезности в точке (2;1).

Решение.

1) Функция полезности (скалярная функция) растет быстрее всего в направлении . Найдем частные производные в точке (2;1):

Таким образом, имеет координаты 1 и 6, т.е. . Следовательно, функция в точке (2;1) растет быстрее всего в направлении вектора .

2) Скорость наибольшего возрастания функции в точке (2;1) равна модулю , т.е.